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应用光学:光学玻璃的色散

到「色散」,我们最先想到的就是雨后的彩虹。色散可以利用棱镜或光栅等作用为色散系统的仪器来实现。最常见的就是太阳光通过三棱镜后,产生自红到紫循序排列的彩色连续光谱。那么我们能通过光的色散这一现象做什么呢?这篇文章主要讲述如何通过光学玻璃的色散,测量玻璃的折射率,以及分光计这一在几何光学实验中常用到的仪器的使用方法。

关于色散

当一束白光入射三棱镜,由于不同的色光有不同的折射率,根据折射定律,它们的偏折角各不相同,在棱镜的后面就形成一条彩色的谱带,这种现象称为色散。在光学系统中,大部分的光学元件是由光学玻璃制成的,透射材料一般以弗朗和费特征谱线的折射率来表示折射特性。我国以 $D$ 光($\lambda=589.29nm$,钠黄线)折射率 $n_D$ 来作为光学玻璃的平均折射率。$F$ 光($\lambda=486.13nm$,氢蓝线)和 $C$ 光($\lambda=656.27nm$,氢红线)位于人眼灵敏光谱的两端,故将 $n_F-n_C$ 称为平均色散。

阿贝数表征了光学玻璃的色散程度,也称为平均色散系数,它定义如下:

$$ V_D=\frac{n_D-1}{n_F-n_C} $$

cdgmgd-ndvd.jpg◎ 图 1:成都光明公司 $n_D-v_D$ 图

表征光学玻璃性能的参数有很多,但最重要的两个参数是折射率和阿贝数。根据阿贝数的定义可以知道,阿贝数越大,色散程度越小;阿贝数越小,色散程度越大。在中国,一般根据阿贝数的大小可以将光学玻璃分为两大类,低折射率、低色散的冕牌玻璃($K$)和高折射率、高色散的火石玻璃($F$)。图 1 是成都光明公司生产的光学玻璃的 $n_D-v_D$ 图,从中可看到大多数玻璃符合随着折射率增大,阿贝数减小,色散增大的变化规律。

经典的色散理论证明,在可见光范围内无色透明的物质,它们的色散曲线形式上很相似。图 2 是 3 种光学玻璃的色散曲线,在 $365.01nm\sim 2000nm$ 范围内,随波长增加,折射率下降,这个现象称为正常色散。

dispersion-curve,png◎ 图 2:3 种透明光学玻璃的色散曲线

材料的色散现象是原子和分子相互作用的宏观表现,根据经典的电偶振子受迫振动模型可以推导出描述正常色散现象色散公式,比如哈特曼公式,柯西公式,塞耳迈耶尔公式。其中,我国对于光学玻璃色散的描述采用柯西公式:

$$ n^2(\lambda)=A_0+A_1\lambda^2+A_2\lambda^{-2}+A_3\lambda^{-4}+A_4\lambda^{-6}+A_5\lambda^{-8} $$

系数 $A_0$,$A_1$,$A_2$,$A_3$,$A_4$,$A_5$ 可以通过曲线拟合或查询光学玻璃目录后获得。

从柯西公式可以看出折射率 $n$ 是光波波长 $\lambda$ 的函数,选用不同波长光波照射三棱镜,测出与波长对应的最小偏向角,计算相应的折射率值,代入柯西公式算出各系数,就可以绘制色散曲线了。

折射率的测量方法

V 棱镜法

V 棱镜是由两块材料完全相同并已知折射率为 $n_0$ 的直角等腰棱镜胶合而成,经细磨为 $90$ 度的待测玻璃试样放入 V 形缺口中,加浸液后可以进行测量。当一束单色平行光垂直入射 V 棱镜后,若被测试样的折射率与 V 棱镜折射率相同,光线将不偏折地通过 V 棱镜;若被测试样折射率 $n$ 与 V 棱镜折射率 $n_0$ 有差别,光线将遵循折射定律发生偏折(图 3)。设出射光线与入射光线的夹角为 $\theta$ 时,可以推导出 $\theta$ 与 $n$ 之间的关系为:

$$ n=\sqrt{n_0^2\pm\sin\theta\sqrt{n_0^2-\sin^2\theta}} $$

$n>n_0$ 时,$\theta$ 为正数值;反之为负数值。所以只要测出偏折角 $\theta$ ,即可计算被测玻璃的折射率。

the-method-of-v-prism.png◎ 图 3:V 棱镜法原理图

全反射法

图 4 中光束 $1$ 沿 $BA$ 从光密介质(折射率 $n_1$)掠入射进入光疏介质(折射率 $n$)后,以全反射临界角 $\alpha$ 进入折射棱镜,再以折射角 $i$ 从 $AC$ 面出射,出射光束记为 $1'$。以此为界,所有入射角小于 $90$ 度的光束经 $AB$ 面折射后,折射角均小于 $\alpha$,再由 $AC$ 面出射至空气时均位于出射光束 $1'$ 的下方。若用望远镜去观察出射光束,则会看到亮暗分明的视场。根据折射定律及三角形关系可以推导出相应的计算公式计算介质的折射率 $n$。这种方法可以测量液体、固体的折射率。

the-method-of-total-reflection.png◎ 图 4:全反射法原理图

最小偏向角法

当光束 $a$ 以角度 $i_1$ 从 $AB$ 面入射,经棱镜两次折射后以角度 $i_4$ 从 $AC$ 面出射,成为光束 $b$。经棱镜两次折射,光线传播方向总的变化可用光束 $a$ 和光束 $b$ 延长线的夹角 $\delta$ 来表示,$\delta$ 即为偏向角(图 5)。

the-angle-of-deviation-in-triangular-prism.png◎ 图 5:三棱镜偏向角示意图

由图 5 可得:

$$ \delta=(i_1-i_2)+(i_4-i_3)\tag{1} $$

$$ A+\delta=i_1-i_4\tag{2} $$

根据折射定律的公式及和差化积以及 $(1)(2)$ 式可得:

$$ \sin(\frac{A+\delta}{2})=n\sin\frac{\delta}{2}\cdot\frac{\cos\frac{i_2+i_3}{2}}{\cos\frac{i_1+i_2}{2}}\tag{3} $$

$(3)$ 式说明,当顶角 $A$ 和折射率 $n$ 已定,偏向角 $\delta$ 是 $i_1$ 的函数。

为了求 $delta$ 极值,把 $(2)$ 式对 $i_1$ 进行微分:

$$ \frac{d\delta}{di_1}=1-\frac{di_4}{di_1}\tag{4} $$

对两个面的折射定律表达式进行微分并相除,当 $\frac{d\delta}{di_1}=0$ 时,偏角 $\delta$ 有极值:

$$ \frac{\cos{i_1}}{cos{i_2}}=\frac{\cos{i_4}}{cos{i_3}}\tag{5} $$

按照折射定律,$(5)$ 式只有 $i_1=-i_4$ 和 $i_2=-i_3$ 才成立,此时入射和出射光线对称于棱镜。

由二阶导数可以证明,此时 $\delta$ 是最小值,$A$ 和 $n$ 的关系式为 $\sin(\frac{A+\delta_{min}}{2})=n\sin\frac{A}{2}$,只要用分光计测出 $A$ 和 $\delta$ 就可以算出 $n$。

分光计的使用

注:分光计的使用应该是大学物理课程中必做的实验,仪器校准较为繁琐。

分光计(图 6)由自准直望远镜 $T$,载物台 $S$,度盘 $\pi$,游标盘 $H$ 和平行光管 $K$ 组成。其中,望远镜通过支臂与度盘连接在一起。望远镜、游标盘、载物台可分别绕底座的垂轴旋转,转过的角度由游标盘和度盘读出(游标精度为 $1'$,度盘格值为 $30'$)。螺钉 1 位于望远镜及平行光管正下方,调整螺钉 1 可让望远镜和平行光管在子午面内上下转动,螺钉 2 则可改变二者水平方向的角度。锁紧螺钉 4 后,调整螺钉 3 可让望远镜绕垂轴转动。调整螺钉 5 可改变载物台的倾角,锁紧螺钉 6 可以让载物台与转轴连动,狭缝的宽度由螺钉 9 来调整。

spectrometer.png◎ 图 6:分光计示意图

  • 螺钉 1:使望远镜和平行光管在子午面(图面)内作微小转动,使两光轴在子午内重合;
  • 螺钉 2:望远镜和平行光管的光轴水平倾角调整螺钉;
  • 螺钉 3:望远镜转角微调螺钉;
  • 螺钉 4:望远镜锁紧螺钉;
  • 螺钉 5:载物台下方的倾角调整螺钉;
  • 螺钉 6:载物台锁紧螺钉;
  • 螺钉 7:游标盘微调螺钉;
  • 螺钉 8:游标盘锁紧螺钉;
  • 螺钉 9:狭缝宽度调整螺钉。

仪器校准

望远镜目镜调整

目视光学仪器一般都需要视度调整,它的目的是让黑色的叉丝分划板位于目镜前焦面。调整方法:旋转目镜,改变目镜至分化板的间距,直至看清目镜前焦面的叉丝分划板。

望远镜调焦至无穷远

调整方法:将平行平板放置在载物台上;转动望远镜,让望远镜大致对准平行平板的一个抛光面;观察由平行平板反射回来的绿色小叉丝是否清晰,若反射像清晰,说明望远镜的物镜和目镜的焦面已经重合;若反射像模糊,则松开望远镜镜筒上方的锁紧螺钉,前后抽动目镜,改变目镜和物镜间距,直至反射叉丝清晰。

注:平行平板是一种由两个相互平行的折射面构成的光学器件,平行度是它面型的一个重要参数

望远镜光轴与载物台转轴的校正

平行平板的放置

图 7 为用平行平板校正望远镜光轴与载物台转轴时的一种放置方法。图中 $A$、$B$、$C$ 分别为载物台下方的倾角调整螺钉,此时平行平板 $a$,$b$ 两个面与载物台下方两个螺钉连线垂直。

placement-of-parallel-plates.png◎ 图 7:平行平板放置方法示意图

调整望远镜光轴使其与度盘转轴正交

粗调望远镜及载物台,目测望远镜及载物台调至水平,即两个面都能看到反射像。然后转动载物台(灰盘),用 $\frac{1}{2}$ 修正法[1]校正望远镜及载物台倾角,使其反射像位于上叉丝(图 8)。

$a$ 面调好后,载物台转 $180$ 度用同样的办法调整 $b$ 面,直至两面的反射像均位于上叉丝。再将平行平板旋转 $90$ 度,用同样的方法调整望远镜及载物台倾角使得无论平行平板哪一个面正对望远镜,反射的叉丝像均与原物对称。此时,望远镜瞄准轴与度盘旋转轴已垂直。

correction-method-a-half.png◎ 图 8:$\frac{1}{2}$ 修正法示意图

平行光管的校准

平行光管的调整部分需要用到低压汞灯,打开低压汞灯并预热 $10$ 分钟,等它稳定后通过望远镜观察狭缝是否清晰、竖直,若不清晰,松开锁紧螺钉,前后移动狭缝,直至通过目镜能看到清晰狭缝像,并转动狭缝,使得狭缝竖直(图 9)。

为了让平行光管与望远镜共轴,需要调节平行光管的俯仰,使狭缝像位于视场中央。为了便于观察,狭缝像的宽度应调节到约纵丝宽度的 $3$ 倍。

collimator-calibration.png◎ 图 9:平行光管校准效果示意图

调整棱镜抛光面法线与望远镜光轴平行

调整棱镜抛光面与望远镜光轴正交时,应以望远镜光轴为基准,调整载物台下方的螺钉 1 到螺钉 3。如图 10 所示,三棱镜的三个顶角 $A$、$B$、$C$ 分别位于载物台下两螺钉连线的中点,且 $AB$ 和 $AC$ 为棱镜的抛光面。当 $AB$ 面对准望远镜时,若反射叉丝偏离上叉丝,通过螺钉 1 和螺钉 3 来进行 $\frac{1}{2}$ 修正;当 $AC$ 面对准望远镜时,若反射叉丝偏离上叉丝,通过螺钉 2 和螺钉 3 来进行 $\frac{1}{2}$ 修正。反复调整,使两工作面的反射像均位于上叉丝。

prism-placed-symmetrically.png◎ 图 10:三棱镜对称放置示意图

分光计读数

reading-of-spectrometer.png◎ 图 11:分光计读数

为了消除偏心误差,分光计游标盘上设有两个读数窗口 $A$、$B$,测量时应取角度值为:

$$ N = \frac{A+B-180^{\circ}}{2} $$

在读数时可以根据需要做 $\pm360^{\circ}$ 处理。一般来说,测量时主刻度盘沿顺时针方向,若有过零点的情况,在计算转过的角度时,则需要做 $\pm360^{\circ}$ 处理。


判断棱镜抛光面与自准直望远镜的光轴垂直的方法

此时,由于望远镜已经过平行平板的自准直校正,望远镜的绿色发光十字叉丝正位于物镜前焦面(即分划板位置)上,当棱镜抛光面 $AB$ 或 $AC$ 垂直于望远镜光轴时,绿色发光十字叉丝经物镜发出的平行光被棱镜抛光面反射回来的光仍为平行光,经物镜所成的绿色叉丝像与绿色叉丝物应上下对称地呈在物镜前焦面上,即自准直法。如下图所示:

autocollimation-method.png◎ 图 12:自准直法

三棱镜顶角的测量方法

在分光计上测量棱镜顶角的方法有两种,一种是自准直法,一种是反射法。三棱镜放置方式如图 10 所示。

自准直法

棱镜对称放置于载物台上,转动望远镜,依次使棱镜的两个抛光面与自准直望远镜的光轴垂直(棱镜抛光面相当于平面反射镜或平行平板)即自准直,如图 11 所示,望远镜两次自准直转过的角度 $\delta$,即为棱镜顶角 $\alpha$ 的补角值,即 $\alpha=180^{\circ}-\delta$。

通过观察十字叉丝的像,转动望远镜依次瞄准三棱镜的两个抛光面 $AB$ 和 $AC$,记下两次瞄准时,分光计游标盘上 $A$ 窗和 $B$ 窗的读数值,则 $\delta=\frac{A_1+B_1-180^{\circ}}{2}-\frac{A_2+B_2-180^{\circ}}{2}$。若 $\delta>180^{\circ}$,则取 $\delta=360^{\circ}-180^{\circ}$。

measure-point-angle-by-autocollimation-method.png◎ 图 13:自准直法测顶角

反射法

measure-point-angle-by-reflection-method.png◎ 图 14:反射法测顶角

反射法的原理如图所示,用光源照亮狭缝,经平行光管同时被棱镜的两个抛光面 $AB$、$AC$ 反射,用望远镜依次去瞄准两个抛光面所反射的狭缝像,从度盘 $A$、$B$ 窗口读数,进而获得棱镜顶角数值。

玻璃折射率的测量

光源介绍

低压汞灯是气体放电灯,在加电时,两电极间电场加速的电子与管内气体原子发生非弹性碰撞,使气体原子激发,受激态原子返回基态,从而发光。低压 Hg 灯和低压 Na 灯,其特征谱线(可见光范围内)如下所示[2]

光源光谱线波长(nm)
低压 Hg 灯汞紫线 h404.66
低压 Hg 灯汞蓝线 g435.84
低压 Hg 灯汞绿线 e546.07
低压 Hg 灯橙色双线579.00
低压 Na 灯钠黄线 D589.29

spectrum.jpg◎ 图 15:波谱

测量方法

调整好分光计后,选择低压 Hg 灯或低压 Na 灯光源,放置在分光计狭缝前,通过望远镜观察狭缝,此时看到明亮的狭缝,调整狭缝的宽度,使其宽度为望远镜目镜分划板上十字线线宽的三倍为宜。若狭缝不清晰或不在竖直方向,则说明前一实验中平行光管的校准未完成。

将待测材料制成的棱镜对称地放置在分光计的载物台上,锁紧螺钉 8,以游标盘为基准测量最小偏角。转动载物台,使平行光管出射光以平行于毛玻璃面 $BC$ 的方向入射到棱镜的一个抛光面 $AB$ 上,转动望远镜,观察到狭缝的像。然后逐渐向入射角变大的方向转动载物台,则狭缝的像也连续移动,转动望远镜跟踪狭缝的像;直到最小偏角位置时,狭缝像突然停止移动,若再转动载物台则狭缝像沿与原方向相反的方向移动。记下狭缝突然停止的位置,即对应最小偏角位置,此时从度盘上用游标读取读数。

需要注意的是,在寻找折射后的狭缝像时,因望远镜视场有限,为了能始终看到狭缝像,每当狭缝像移动到视场边缘时,望远镜也作相应的调整(松开螺钉 4)。此外,也可以先不用望远镜,而是直接用眼睛观察折射后狭缝的像,改变眼睛观察的水平角度,可以快速找到平行光管镜筒的像及镜筒里狭缝的像,在该位置再用望远镜进行观察即可。

单侧读数计算最小偏角

unilateral-reading.png◎ 图 16:单侧读数示意图

双侧读数计算最小偏角

以棱镜的抛光面 $AB$ 对向平行光管,测得最小偏向角位置,读取游标读数 $N_1$,转动载物台棱镜,以棱镜的另一抛光面 $AC$ 对向平行光管,用相同方法测定出最小偏向角位置,读取游标读数 $N_2$,两次读数之差即为最小偏向角 $\delta_m$值的 $2$ 倍。

bilateral-reading.png◎ 图 17:双侧读数示意图


  1. $\frac{1}{2}$ 修正法:当平行平板 $a$ 面对准望远镜时,观察反射像与上叉丝的偏移量 $h$,调节望远镜的下方的螺钉 1,使反射像上升(下降)$\frac{h}{2}$;再调整载物台下方螺钉 $B$(图 7)使反射像恰在上叉丝(图 8)。
  2. 低压 Hg 灯的橙色谱线,实际为双线结构,一条 $576.96nm$,一条 $579.06nm$,因为谱线非常靠近,眼睛无法分辨时可视为一条谱线,取波长 $579nm$。
updatedupdated2019-11-132019-11-13
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